跨越断层，走出误区：

《数学课程标准》核心词的实践解读之五（下）

上海市静安区教育学院  曹培英

随着统计教学内容的变迁，从它的前身“日用簿记”到“统计图表”，再到“统计初步知识”、“统计与概率”，相应的教学经验、教学策略，也在不断发展、变化。

尤其是《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》颁布以来，如何培养小学生的数据分析观念，成为关注的焦点、热议的话题之一。有关的经验介绍，主要集中在两个方面：一是让学生亲历统计活动的过程；二是让学生亲近数据、感悟数据。

所谓观念，原本就是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉与思想。而数据分析观念反映的是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果。它的特殊性，在于要求学生克服一些固有的思维定势，如关注局部忽视整体、习惯确定生疏随机、强于回顾弱于预期，因此更需要获得亲历体验。在这里，体验性学习是思辨性学习不可或缺的基础。

进一步，教学法一旦深入学生的情感领域，触及学生的精神需要，就能成倍增长它的功效。因此，“关键是无论学生还是老师，首先都要产生对数据的亲切感”[1] 。道理是明白无疑的：对于学生，知之者不如好之者，不如乐之者；对于教师，为师者自身对数据没有亲切感，又怎能令学生亲近数据呢？

着眼于当下教学现状与教师需求，亟待突破的瓶颈是，统计活动的资源还不够丰富，统计活动的内涵还有待增强“统计味”。这也是落实“过程性”、提升“亲切感”绕不过的坎。

此外，鉴于小学数学的统计教学内容，还是以统计图表和平均数为主，因此，有必要探讨这些内容的教学，如何与时俱进。

下文，首先针对两个“瓶颈”，作初步的实践性探讨；然后择取一个“传统”的统计内容，选一新近的教学案例，加以分析。供同仁借鉴。

一、实践探讨一：开发统计活动资源

1.课内活动资源的开发

目前，课堂内的统计活动，受到较广泛的关注，有些统计活动，颇有新意，且收效明显。

例如，贴出电视台正在播出的几部动画片主角，统计“你最喜欢的动画片”。同时突破先分组统计、再全班汇总的固定模式，采用更便捷、高效的方式，如举手计数、贴粘纸计数等。

进一步的发展：

其一，把各种标志的粘纸改成统一的小正方形，让学生贴在横轴上方，一个接一个贴，自然生成了一幅条形统计图。

其二，有些项目贴的人多，贴不下，启发学生想办法，每人都贴半格，或者两人合起来贴一个小正方形，从而又生成了一个刻度表示2的条形统计图（如图1）。

又如，制作多媒体课件，创设虚拟的现实统计情境“某路段10分钟内过往车辆的分类统计”（如图2），把外部世界引入课堂，让学生获得较为真实的体验，亲历动态的数据收集过程。从而借助技术手段，使学习活动具有实践特征，成为建构动态统计意义的感性经验基础。

2.课外活动资源的开发

为突破课堂教学时空间的局限，有些统计活动，还可以从课内延伸到课外，使学生亲历实实在在的调查统计。

小数

概念

小数

计算

小数

应用

合计

第1次

第2次

……

总计

例如，指导学生分类统计个人每次数学测验的扣分。分类方式可以因内容、因人而异，如：

计算

应用

概念

合计

第1次

第2次

……

总计

这样的统计活动，变虚拟为真实，学生通过统计还能了解自己的学习状况，哪些知识掌握得比较差，并根据诊断结果自主选择针对性的练习。

我们不是经常在说，要使学生认识到统计对决策的作用，那就让他们从自己学习的现实需要入手，初步感受统计的真实作用吧。

又如，有教师组织学生自行提出问题，开展“小课题”研究。学生想到的课题，如：我们所喜爱的动画片、国内外动画片制作成本比较、视力与看电视的关系，等等。下面是“视力与看电视关系”研究小组的调查统计结果：

该校还进行了“信息技术与小学数学统计初步知识教学内容的整合研究”,进一步拓展统计活动内容[2]：

学习内容

整合后的学习活动

原有活动

新增活动

数据的收集

报刊浏览

网上搜索，社会调查

数据的描述

手工制表绘图，笔算求平均数

电脑制表绘图，用计算器求平均数

数据的分析

回答问题，讨论质疑

展示演示文稿

可能性认识

摸球实验，投币实验

电脑模拟实验

可见，开发统计活动资源的空间还是很大的。

二、实践探讨二：挖掘统计活动内涵

小学的统计活动虽然简单，但都有统计学的背景。因此，从统计学的视角看去，还是有不少内涵可供挖掘，或者说渗透。

以常规统计活动“你最喜欢的水果”为例。面对二年级学生，除了举手统计、选用画“正”或“四竖一横”做记录、讨论统计结果的用场，还能增添什么？

1.感知总体调查与抽样调查

首先，可以渗透“样本”概念，让学生对样本的选择有初步的感知。例如，口答：

要知道自己班上的同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查方法，哪一种比较合适？为什么？

（1）小亚：问自己小组的5位同学；

（2）小胖：问和自己最要好的4位男同学；

（3）小巧：问全班同学。

巩固练习时，再次安排口答：

要知道全校同学最喜欢哪种水果，你认为下面三种调查方法，哪一种比较合适？为什么？

（1）问全校同学；

（2）每个年级调查一个班；

（3）早锻炼时问运动队的同学。

实践表明，这些问题基本上都在低年级学生经验直觉的最近发展区内。他们陈述的理由尽管幼稚，但不无道理，而且大多围绕着样本的代表性或操作性来说。如：“女同学也应该问”，“运动队同学喜欢的和我们的不一样”，“问全校同学，人太多，加起来太难算”，等等。

2.接触不同的调查方法

其次，可以让学生初步体会调查方法的多样性，感受各种方法的特点。例如：

教师先采用逐一回答，画正字的方法进行统计，不一会，停下来问：这样一个一个回答的方法好吗？你们有什么更好的方法？学生很快形成共识，举手统计，又快又方便。

完成全班统计后，提出问题：

如果调查，在语文、数学、英语三门学科里，你最喜欢什么，举手统计的方法好吗？如果你不喜欢数学，你敢不举手吗？

大胆的学生回答：你来问喜欢数学吗，我们不敢不举手的。

教师给予表扬，发下更换了调查科目的如下问卷，口述指导语“不用写名字，只要在你最喜欢的学科下打勾”：

思 品

音 乐

体 育

美 术

学生递交问卷后，教师再问：这样调查得到的结果是你们的真心话吗？集体备课时，有老师怀疑学生能否答在点子上。施教结果表明，学生基本能明白教师的良苦用心。如“不写名字老师不知道谁勾的”，“交给数学老师，我们不怕”。透过儿童语言，不难看出，学生对无记名问卷的真实性、第三方调查的公信力，已经有了真切的初步感受。

3.体会调查统计的真实价值

通常，调查“最喜欢的水果”，最后教学环节是让学生说说统计结果的用处。比如，班上举行联欢会，购买哪几种水果比较合适。当然，多数情况下这只是“小孩过家家”的模拟计划。

然而，确有数学教师将“最喜欢的学科”调查结果反馈给了有关老师（一位新教师），并帮助她分析学生“不喜欢”的原因，改进教学，扭转了学生的看法，也让学生看到了调查统计最真实的功效。顺便说一句，这在上海市静安区，并非绝无仅有的个案。

毫无疑问，这样的做法，一般的数学教师，目前是不可复制的。但有理由相信，当全国推广“绿色学业质量评价”之后，情况会有所改观。尽管如此，只要是有心人，总能发现并抓住教育的契机。比如，实施前面介绍的“数学测验扣分分类统计”，就能出现一系列的真人真事，让学生体会到身边的统计或自己的统计，显现了它的实用价值。

三、案例分析：“读图”

人类已经进入“读图时代”，为了更好地生存，人人都需要从大量的“图”中获取有用的信息，作出自己的分析、解释，有时，还有必要进行合理的质疑。

统计图是小学数学的传统教学内容，它的教学研究，之所以需要与时俱进，主要是因为如今的教学要求，早已从重在图的绘制转向了重在图的阅读、图的分析与图的评价（包括质疑）。

下面介绍一节五年级“读图”课的教学片段，这是在学生已经学了条形图、折线图的基础上，以看图分析、解释、质疑为主的课。

1.片段描述

（1）读图步骤的自然生成。

怎样看图，似乎无须总结步骤，自然总是先看最吸引眼球的。其实不然。当面对一些具有典型教学功能的统计图时，学生能够悟出首要步骤的合理性。

请看下图[3]，并无夺人眼球之处，如果先看横轴、纵轴，都看不出所以然。

先看标题，才知道是三个城市男女青年平均身高的统计。那么，是哪三个城市呢？再看横轴，是上海、武汉、成都。

就这样，随着教师一个最普通的问题：这两幅条形统计图统计了什么？你是从哪里看出来的？读图的一般步骤“先看标题，知道统计主题；再看横轴，了解统计项目”，也就自然生成了，其合理性是显然的。

接下去，就可以想怎么看就怎么看了。

（2）看图获取意想不到的信息。

不看真不知道，三个城市男女青年的平均身高，居然如同楼梯，依次下降。探明究竟的欲望油然而生。

题目有提示：在地图上找到三个城市的位置，你发现从东往西男女青年的平均身高有什么变化规律？

教师出示地图，圈出三地，分别在我国的西部、中部、东部。非常明显，从东往西，男女青年的平均身高都呈现下降趋势。

进一步的解释，已超出了统计图提供的内容范围。但是学生想知道，为什么上海人具有身高优势。

五年级学生，已经知道中国的地势西高东低，还有学生说“一江春水向东流也是因为西高东低，水往低处流”。教师出示三地的平均海拔高度：

成都，540米；武汉，30米；上海，4米。

印证了学生的解释。同时指出，三个城市的选择，大致处在同一维度上，居民都以汉族为主，这样才有可比性。学生仍欲罢不能，有学生认为，原因还有上海人不吃辣，成都人最吃辣。教师加以引导：还想继续了解数据以外的原因，比如饮食习惯对身高的影响，课后自己上网搜索。

（3）可能存在的“视觉误导”。

看图提出问题时，有学生问，为什么上海、武汉的女青年都比男青年高？这是一个与数据有关的问题，教师在两幅统计图上拉出两根红线，反问：是吗？怎么会呢？

有学生发现，是两幅图的刻度不相同造成的，从数据看三个地方都是男青年高。进而提出问题，为什么不用相同的刻度，这不是忽悠人吗？

教师指出，统计图有时会给人视觉上的误导。比如，由于刻度不统一，看上去好像两地女青年平均身高比男青年还高。再比如，从图上看，三地男女青年的平均身高相差很大，实际只相差了多少呢？随着教师的提问，学生开始仔细观察数据，教学进入了下一环节，研究为什么数据相差一点点，如171.7－170.2＝1.5，条形长短相差这么大？

（4）揭示隐含的知识点。

教师出示右图[4]：我们再来看两幅折线统计图，研究一下刻度问题。学生看出，两幅图的内容完全相同。从而引出问题：为什么都是小亚同一时间的体温，两幅图的折线起伏差别这么大？

经过小组讨论，学生找到了其中的原因：两幅图的刻度不同，同样的单位长度，图1表示的温度是图2的10倍。由此得出结论：一格表示的数量越小，条形的长短或折线的起伏相差越大。

教师又提出一个问题：为什么要省略一部分刻度？学生有三种回答：一是人的体温不可能低于30℃，所以0℃～30℃这部分是多余的；二是省略一部分刻度，才能使每一格表示更小的数量；三是方便医生，一眼就能看清病人的体温变化。最后一种回答，把为什么要放大差异的现实需要也说清楚了。

2.简要评析

（1）要让学生亲近数据，数据内容是关键

这节课，学生始终兴趣盎然，他们对数据的亲切感是由衷的、探究的欲望是情不自禁的。因为，数据中蕴含着意想不到的信息，吸引了学生，他们愿意亲近这样的数据。“好”的数据内容，读图效果自然会好。

正是由于数据背后富有内容，所以学生的分析，没有停留在“最大”、“最小”之类的简单判断上。

看来，统计教学不仅需要学生自己的数据、身边的数据、连续积累的数据（如一年级到五、六年级的身高、体重），还需要一些有趣的、内涵知识的数据。否则，内容单一，兴趣必然减弱。

（2）看图分析、解释，需要教师适当干预

教师的干预，首先体现在精心预设、充分准备方面。

比如，中国地图是必需的，不然，同一纬度带就无法直观。而纬度相近，民族相同，又恰恰是身高比较样本选择合理性的重要因素。

又如，预料学生会作出地势高低导致身高变化的解释，教师准备了三地平均海拔高度的资料，用数据支持学生的解释。

其次，教师的干预还体现在讨论的引导方面。

例如，引导学生根据数据作出解释、提出问题。这在小学的读图教学中，常常是必要的。对于数据以外的、常识难以判断的解释，引导学生课后寻找依据，也是明智的对策。

显然，这比由着学生随意解释数据，鼓励学生脱离数据想当然地进行预测，要好的多。

再如，教师抓住学生的合理质疑，引出了看图可能产生的两点视觉误导：女青年的平均身高明明低于男青年，但条形高度却相反；数据大小相差一点点，条形高低相差很大。由后者，又很自然地引出了新的学习内容。

这里的两处“误导”，都并非故意“忽悠”，没有不良意图。教师称之为“视觉误导”是比较恰当的。

两幅条形图的刻度不一致，是计算机造成的。现在工作或研究中的统计图，几乎都是输入数据，由计算机自动生成。计算机不知道两图将并列出示，当两组数据不同时，刻度自然不统一。因此，单独看，所选刻度都是合理的，放在一起比较，就可能产生“误导”。这一点，可以向学生作简要说明。

条形高低差异被放大，是便于观察、增强比较效果的需要。学生的疑惑，通过两幅折线图的比较，得到了较好的澄清。从中也可以看出，选择体温统计图的用意，有利于调动学生的生活经验，体会医生的工作需要，理解放大差异的实际意义。

（3）在看图过程中揭示有价值的知识点

新一轮课改以来，从“一格表示1”到“一格表示2”、“一格表示5”……被公认为统计图教学的台阶，“一格表示几”成了一个知识点。对此，笔者已有论述[5]。相比之下，刻度变化引起条形、折线的变化，倒是一个值得教学的“知识点”。遗憾的是，目前这还是一个教学的“盲点”。

学生都以为省略一部分刻度是因为画不下的缘故，不少教师也如此解释，其实是一种误解。试想只要每一格表示的数量足够大，怎有画不下的道理？省略一部分刻度主要是为了留出空间，放大差异，一目了然，以便于比较。对折线图来说，也可去掉空白部分。实践表明，通过对比，学生都能理解。

3.关于统计图的选择

上述“读图课”，受到观摩者的一致好评。特别是教师引用的条形统计图，大家赞赏有加。然而，由此又引出一个颇有争议的问题：怎样选择合适的统计图？

我们知道，小学主要学习三种形式的统计图，它们各自的特点，通常概括为：

条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；

折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；

扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

什么情况下选用扇形统计图，很少产生歧义；什么情况下选用条形统计图或折线统计图，经常引起争论。多数教师认同的一条选择标准是，离散的数量用条形图比较合适，连续的数量用折线图比较合适。

这一有着明显“数学味”的标准，在统计中并不具有一般性。因为统计学不同于纯数学，它是真正的应用数学。以上面的男女青年平均身高统计为例，典型的离散数量，用折线图表示从东往西男女青年平均身高的变化规律，也是合适的。这就是说，有序的离散数量的变化规律或发展趋势，也可以采用折线统计图。

反之，无序的、没有潜在变化规律的离散数量，是否就不宜选用折线图了呢？同样不一定。试举一例：一项测试，有5道试题，每题满分都是10分，下面是甲、乙两班各题平均得分的统计图。

折线显示，甲班各题平均得分总体高于乙班，但题4出现了倒挂，乙班平均得分高于甲班3分。对于题4的测试内容来说，乙班值得总结教学经验，甲班则有必要寻找“反差”原因。

显然，折线揭示的这一状况，与试题编号无关。因此，无序的、没有明显变化规律的统计项目，采用折线统计图，也可能有非常直观的比较效果，给分析带来方便。

既然一切皆有可能，还有什么能总结的呢？有。其一，图的特点可以灵活应用；其二，合适的图，能让数据“开口说话”。所以，关键在于，你统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，一切皆因需要。

总之，在关注儿童学习心理的同时，以统计学的视角分析、处理相关内容，则培养、发展学生数据分析观念的核心目标，就能比较自然地得到有效落实。

［参 考 文 献］

[1] 史宁中等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程.教材.教法，2008(6).

[2] 陆虹.信息技术与小学数学统计初步知识教学的整合研究[J].小学数学教育，2005(9).

[3] 山东省教学研究室.义务教育课程标准实验教科书数学（四年级上册）[M].青岛：青岛出版社，2006．101.

[4] 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会.九年义务教育课本（四年级第二学期）[M]. 上海：上海教育出版社,2006．45.

[5] 曹培英. 关于“统计与概率”教学实践的反思[J].小学数学教师，2009(1).