二、怎样把握空间观念

1. 教学文件中关于空间观念的阐述

在我国，1963年颁布的《全日制小学算术教学大纲（草案）》，首次在“教学目的”中提出了“具有初步的逻辑推理的能力和空间观念”的要求⑹，但未阐述什么是空间观念。

1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》⑺，以及1986年的《全日制小学数学教学大纲》⑻，都只是提出同样的要求，仍没有加以阐述。

1992年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，第一次对培养初步空间观念的要求，作了比较具体的描述：

“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。” ⑼

这段话言简意赅，首先刻画空间观念是指建立什么样的表象，然后说明最主要的表现“识别”与“再现”，至于未尽内涵，则用“培养初步的空间观念”概括。

2001年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，进一步作出更详细的阐述：

“空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。” ⑽

这段文字的内容非常丰富，有五层意思。

一是空间想象方面的表现，包括两种转换，即实物形状与几何图形、几何体与三视图、展开图之间的可逆转换。

二是动手操作方面的表现，制作模型、画出图形。

三是空间分析方面的表现，复杂图形的分解、分析。

四是空间描述方面的表现，描述运动变化、位置关系。描述位置关系还特别强调“采用适当的方式”。因为即便是在小学阶段，也要先后学习多种方式，即“上下前后左右”、“有序数对”、“方向和距离”、“相交或平行”。

五是用图形描述问题和直观思考，相当于新版课标中的第四个核心词“几何直观”。

空间观念的种种表现，已经列举的相当全面、详尽了。如果说有遗漏的话，那就是图形的抽象、图形的特征或者说性质。

修订后的新版课标，关于空间观念的语段是：

“主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”⑾

很明显，比课标实验稿更为精炼、概括，揣摩意图，可能意在突出重点、削枝强干。

空间想象方面，增加了想象方位和位置关系，补上了根据特征抽象出几何图形。这里的“特征”显然是指几何特征，这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。

空间描述方面，只留描述运动变化，位置关系不再重复。

动手操作方面，强调画出图形，省略了制作模型。虽说“制作”是培养空间观念的有效手段，但毕竟不是数学教育的“核心”。

用图形描述问题和直观思考，单列了一个核心词“几何直观”予以强调。

删去了空间分析方面的要求，对小学数学来讲，关系不大。

立足于小学数学实际，课标两个文本中的“想象”，以空间表象水平的再认、再现及联想为主，可以认为主要是日常习惯用语，还不是心理学严格意义上的纯粹空间想象。

2. 空间观念的主要表现

不管把空间观念理解为“空间能力”，还是“表象＋初步的想象”，出于教学实践的需要，教师最为关注的还是空间观念的具体表现。

概括地说，小学生空间观念的表现，主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激—反应”。

实际事物      名称←→特征

图形←→变换

以受到实际事物的刺激生成的反应为例。

看到手帕的反应是，这是一个正方形，头脑里出现图形，想到它的四条边相等，四个角都是直角，等等。

提到香港特别行政区的区旗，想到旗面是长方形，五片花瓣可由其中一片旋转得到，有的学生还能看出瓣叶顶端的五个点在同一圆上，等等。

走在某一十字路口，反应出这两条路互相垂直，有时还联想到邻近的某条路与这两条路之一平行，等等。

看到皮鞋盒，头脑里出现它的立体图、三视图、展开图，想到它的面、棱、顶点的特征，等等。

上面例举的“刺激—反应”过程，包含了图形的抽象、图形及其位置关系的识别、图形性质的再现、图形的运动变化，以及立体图与其三视图、展开图的转换，也反映了表象与词语的双重编码效应。

至于空间观念的描述表达，无非是语言描述、画出图形和符号表示，其实就是数学语言的三种形态。以图形及其特征的描述为例：

等腰直角三角形                    △ABC，∠A＝90°

直角边长3厘米                    AB＝AC＝3cm

                   (单位：厘米)

      文字语言   ←→   图形语言  ←→  符号语言

描述图形的运动变化和位置关系也是如此。

三、怎样提升培养空间观念的教学水平

小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。在这阶段，怎样培养和发展学生的空间观念，是一个理论性和实践性都很强的课题，已有大量的相关论述与经验总结。这里本着“跨越断层，走出误区”的取向，择要表达一些个人见解。

1.借鉴相关理论

长期以来，我们研究“教”远多于研究“学”，随着“教育以学生发展为本” 的观念成为共识，情况开始好转，但心理学理论的应用仍处于教学研究的边缘。

例如教学体积概念的展示课，从老鼠与大象比大小开始，多媒体课件的演示一个接一个，有等长的两根木棍比粗细、封面面积相等的两本书比厚薄，还有各种各样体积不变的变换实例：

学生自然是兴趣盎然。可是，所有这些辨析内容，让人联想起幼儿园大班的教学活动。小学五年级学生还需要吗？

皮亚杰关于儿童获得体积守恒观念的实验及其结论告诉我们，受过教育和未受过教育的儿童大约在相同的年龄出现各种守恒能力，实现体积守恒的年龄是11-12岁。检测的方式是：

把纸片假设为湖，上面的方形是小岛，询问儿童在这些不同面积的小岛中盖房子，要能住下相同的人，该如何建。以此考察儿童是否理解通过高度的增加来弥补面积的减少，从而达到体积守恒（房子一样多）。⑿

把测试题改编成如下表述：

在两块地上建房子，一块地200平方米，建了三层楼。另一块地100平方米，要建同样大小、同样多房间的楼，你有办法吗？

在教学体积概念之前，对36名五年级学生（2名10岁，5名12岁，其他皆为11岁）进行检测，所有学生几乎都毫无困难地作出了正确的回答。

可见，教学的起点，应该是在学生已经具有体积守恒观念的基础上，使他们理解“体积”的词义，建立“三维”观念。如：

下面两支铅笔的体积一样大吗？两本书呢？为什么？

有教师在教学前了解到学生对于体积的一个真实困惑“空气有体积吗？”于是准备了一个放了气的皮球和打气筒，打算在课堂上演示。教学过程中果然有学生提出这一问题，还没等老师拿出器具，一位学生说“我有办法证明给大家看”。只见他掏出一个塑料袋，往里吹气、抓住，“看！空气是有体积的。”事实教育我们，真的不能低估孩子的认知水平与能力。

再以皮亚杰理论的应用，反思两个教学案例：

其一，一年级教学球体的初步认识。鉴于儿童经常说“球是圆的”，为了区别“球”与“圆”，教师出示一个蛮大的塑料球，瓣开成两个半球面，让学生看到切口是圆。还给学生每人发了一个药丸的包装壳，让学生自己瓣开再观察。观摩者无不为教师的精心准备而折服。评课时有人提出疑问：儿童以为球是圆的，是因为球的剖面是圆吗？有人认为是的，因为西瓜切开来，就能看到圆面。也有人认为，恐怕主要是日常语言的误导，因为中国的语言习惯，“球”有骂人之嫌，“圆”富赞誉之意，所以该称“球”的地方常常代之“圆”，如歌词“地球是个美丽的圆。”

其二，三年级教学周长。为了引出“平面封闭图形一周的总长”这句话，教师煞费苦心创设情境，让学生区分平面图形有开口的、有封闭的，花费了不少时间。讨论时，相当一致的意见是：在此之前没有出现过封闭概念，区分封闭与否是必要的，需要改进的只是怎样节省用时。

反思两个案例，皮亚杰的理论能给我们什么启示呢？

关于儿童几何认知的发展，皮亚杰有一个非常著名的研究结论：与几何学的建立、发展顺序相反，儿童最初建构拓扑（如连通性、封闭性和连续性等）关系，后来是射影（直线构成等）以及欧几里得（多边形、平行和距离等）关系。⒀

尽管心理学界并未一致赞同这一认知发生次序，但可以肯定的是，儿童很早就能区分开放图形（如×）与封闭图形（如○）。也就是说，教学中出现“封闭”一词，是有认知基础的，无须过份展开，只要学生理解其意即可。

类似地，既然儿童从小就能感知射影关系，那么他们将球与圆混淆的主要原因，就应该是“球的正投影是圆”。因为在日常生活里，特别是从远处看球体，视觉效果往往是球的正视图。

其他理论（如范·希尔等人关于几何思维水平的研究）的应用，限于篇幅，不再举例。

总之，充分借鉴心理学已有的相关研究成果，可以启发我们更深入地研究“学”，从而真正“吃透”学生，减少教学的盲目性。

2.加强两种直观⒁

理论和实践都能告诉我们，小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”，亦即主要途径、手段是观察与操作，两项都属于直观教学范畴。

（1）视觉直观

观察是一种有思维积极参与的感知活动。正是在这个意义上，人们常说观察是智力活动的门户。

小学生观察能力的发展与空间观念的发展，基本上是同步的。主要表现为：从感知强刺激成份到感知弱刺激成份；从认识单一要素到认识要素关系；从熟悉标准图形到熟悉变式图形。

笔者曾总结引导学生观察空间形式的基本教学策略：比较、辨析图形的异同；在运动变化中观察图形特征；在各种背景中识别基本图形。鉴于这些对策已为广大教师所熟知，因此本文不再展开。

（2）动作直观

小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类，即操作实验活动与画图。

先谈操作实验。

最常用的操作实验有图形的拼摆、折叠、划分、测量、割补以及制作模型等。目前，各套教材都安排了很多这方面的内容，教师也积累了丰富的经验。

有必要指出：在整个小学阶段，触觉、运动觉与视觉的协同活动，始终是获得空间观念的有力支撑；即使到了高年级，当空间想象受阻时，提供操作材料动手实验，依然是行之有效的教学对策。试举一例。

有一道非常经典的几何题：

把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27个同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？表面无色的小正方体木块有多少个？

前一问的答案正好分别对应正方体有8个顶点（三个面的交点）、12条棱（两个面相交的边）、6个面，最后剩下

27―8―12―6＝1（个）

包在中间，六面无色，即后一问的答案。

这道题的经典意义在于形体特征与空间观念的有机整合，在于基本概念与答案之间简洁、明了的对应。自然也有遗憾，那就是挑战性不够。空间观念强的学生凭空就能想象，空间观念弱的学生看图也能明白。如果仅仅加大难度，比如将切割成27个改为1000个，或者将正方体改成长方体，并且去掉“同样大小”等，则破坏了答案的简洁性，且空间想象的余地并不大。

采用突破思维定势的方式对上题加以改造：

一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长1厘米的小正方体木块。

①如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的小正方体最多有几个？

②如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？

此题曾让教师解答，参加培训的近50名教师只有3人全对。

给五年级学生思考，允许用小立方体学具摆一摆，他们一动手，就发现了最多只有2个小正方体恰有五个涂色的面。部分学生还能说出理由：有五个涂色面的小正方体只有1个面与其他正方体重合，所以只能在长方体两头，而且长方体只能由一排小正方体组成。第②问也有不少学生找出了全部答案。

    ①                            ②

显然，让学生多种感官协同活动，自己构造直观，有效地支撑了空间想象，有利于空间观念最近发展区的最大化。

再讨论画图。

画图本是学习几何的常规直观手段，但在小学至今没有受到应有的重视。

一方面，在新版课标的课程内容中：第一学段没有明确的画图要求；第二学段除了方格纸上的简单作图之外，也只有“会用圆规画圆”，“能画指定度数的角，会用三角尺画30°,45°,60°,90°角”。

另一方面，在几何教学的实践中，画图常常处在可有可无的边缘地位。

很多教师非常重视算式书写习惯的培养，甚至要求等号必须用尺“写”，却很少有教师重视画图习惯的培养。比如，只有极少数教师会强调，画图必须用铅笔，而不是手上拿着什么笔就用什么笔画。多次听到初中教师抱怨：“为什么小学老师会容忍学生用圆珠笔、水笔画图。”

当然，培养良好的习惯，只是“重视”画图这一有效直观手段的浅层表现，更实质性的是通过画图，丰富学生的几何认知，促进空间观念的发展。

例如：过两点画直线、线段，可以感知两点确定一条直线，两点之间线段最短；过直线外一点画已知直线的平行线、垂线、垂线段，有助于体会平行公理、垂直的唯一性，以及垂直线段最短。

我们的教学实验表明，小学高年级学生完全能够独立探索、总结用刻度尺、量角器画三角形的方法，即已知两边与夹角、两角与一边画三角形。在教师的启发下，他们也能用刻度尺和圆规按已知的三边画出三角形，并总结出画法。

在这手脑并用的过程中，学生还经历了一系列的想象、验证活动，获得了可贵的探究体验和一定的操作经验。

基于多年的教学实证，可以初步得出结论：初中数学视为“公理”的几何事实，绝大部分能够也应该在小学阶段通过探索性画图活动，让学生积累感性认识，进而在发展学生空间观念的同时，切实改善、强化中小学数学教学的衔接。

当下的现状是：小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；初中阶段，内容多，时间紧，大凡作公理处理的几何命题，难以展开，只能一带而过。能力强的学生，可以自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常处于似懂非懂状态。因此，客观上加大了两极分化。

十几年前，研究初中几何入门难问题时，已经发现了这一问题，然而大面积的教学实践，迄今未见明显改观。

真诚地呼吁、期望我们的教材、教学能在这方面多下点功夫！

    3.重视两个“结合”⒂

（1）语言与形象结合

语言是通过教学促进学生空间观念发展仅次于直观的重要手段。

从图形的认识来看，小学生空间观念的年龄特征，决定了他们正处在由以依据表象为主的直观辨认水平，逐步向以依据特征为主的初级概念判断水平发展。这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体特征。

从语言的介入来看，小学生空间观念的发展，主要表现为两个特点：一是从直观辨认图形到语言描述特征；二是从使用日常用语到使用几何语言。

例如，从身高、树高等生活中“高”的认识，到几何图形中“高”的认识；从平行四边形的高（平行线间的距离）、三角形的高（点到直线的距离）的认识，到圆柱的高（平行平面间的距离）、圆锥的高（点到平面的距离）的认识，离开了语言描述是难以完成的。

这里的重要概念“垂直”与“垂直线段”，在小学通常只给出二维平面上的界定，回避三维空间中的说明，至多是用“距离最近”、“长度最短”等解释加以直观刻画，但语言描述仍然是不可或缺的。这里的表象倘若没有初步的、笼统的概念作支撑，就只剩空间知觉了。

可以说，小学生学习几何与形成空间观念的过程，在某种意义上也是掌握几何语言的过程。在这教学过程中，教师必须充分运用语言工具，通过引入几何语言同化、矫正日常用语，发挥其“调节”、“内化”功能，将大大促进小学生空间观念的形成与发展。

为此，首先应当重视适时抽象概括，并采用适当的语言，把图形及其位置关系的本质特征表达出来。这方面，教材上的用语，都经过周密考虑，精心设计。对于教师来说，重要的是在课堂教学过程中，如何根据小学生的认知特点和具体内容的实际情况，作出适当选择，相机给予启发。

例如，观察图15，大小两个正方形里的阴影部分，常有学生认为是平行四边形。主要原因是图形整体形状的刺激强度大。那么，怎样说明阴影部分不是平行四边形呢？

作为教师，有多种选择：左右两边不平行，两组对边都不相等，上下两边不相等。如果考虑学生，则上下两边不等应为首选。

理由之一，边的长短是仅次于图形整体形状、大小的强刺激成分，学生易于感知。

理由之二，左右两边不平行，在小学缺乏依据。虽说有个别学生，甚至能添上辅助线（如图16），说明两个正方形的对角线才是平行的，但实际上用到了初中几何知识“同位角相等，两直线平行”。

其次，还应注意出示图形时尽可能配以说明。仍以图15为例，试比较下面两种指导语（尺寸、单位略）：

求图中阴影部分的面积；大小两个正方形（如图），求阴影部分的面积。

前者是目前小学数学的习惯用语，因为小学的几何属于直观几何，允许学生看着像什么图形，就认为是什么图形。

后者作了改进，理由是应该随着年级的升高，有意识地通过语言的介入，帮助学生逐步摆脱单纯依赖直观的习惯。

（2）数与形结合

数形结合在几何研究中的作用，数学家华罗庚有过非常精辟的论述“数让形更入微”。即便是小学的几何，无论是研究形体的形状、大小，还是研究它们的位置关系，都既需要定性描述，又离不开定量刻画。

例如，长方体的特征，决定了它们的一般形状，每一个长方体的具体形状、它的大小，还需要通过长、宽、高，用数量来刻画。

又如，平面上两条不重合直线的位置关系，要么相交，要么平行，这是定性分类。进一步的研究，就要通过度量，用到夹角的大小、平行线间的距离。如果两条直线相交，只要知道其中一个角是直角，就可以推出其他三个角都是直角，这些都是初步的定量研究。

可见，小学数学同样是“数让形更入微”。

在小学，尤其是在“求积”计算的教学过程中，数形结合还具有特殊的教学法意义。比较常用的策略如：将图形的特征与图形的计算相结合，通过图形、算式对照来讲清算法与算理，等等。这些策略在公式推导、问题解决的教学中，都有明显实效。

例如公式推导，从圆面积公式的导出，到圆柱体积公式的导出，将数形结合

的割补法由二维推广到了三维，在提升几何基础知识教学有效性的同时，也使学生空间观念的内涵得到了丰富。

又如问题解决：

问题1，一个圆与一个长方形的面积相等，圆的半径与长方形的宽相等，都是4厘米。求长方形的长。

问题2，一个圆柱与一个长方体的体积相等，圆柱的底面半径与长方体的高相等，都是4厘米，圆柱的高等于长方体的宽。求长方体的长。

解答问题1，常规的思路是先求圆面积，也就是长方形的面积，再除以宽。如果能联想到导出圆面积公式的割补转化（如图17），就能发现长方形的长是圆周长的一半，由此直接算得长方形的长是4π厘米。

解答问题2，由于计算圆柱侧面积缺少条件，常规思路受阻。小学生极少有人想到用字母表示圆柱的高，用代数方法求解。但他们只要联想到导出圆柱体积公式的割补转化，把圆柱侧面的一半看作长方体的底面（如图18），则长方体的长就是圆柱底面周长的一半，答案也是4π厘米。

显而易见，两题的问题解答空间不仅容纳了公式推导的过程，还诱发了学生数形结合的想象，使空间观念得到了激活与提升。

注释：

⑴ 原国家教委中小学教材办公室、课程教材研究所编印：建国以来中小学数学教学大纲汇编.1986年.

⑵ 曹培英：小学生空间观念的形成与发展有什么特点.《小学数学教育》2010年第4期.

⑶ 刘晓玫：小学生空间观念的发展及特点研究. 中国基础教育优秀博硕士学位论文全文数据库，2007年.

⑷ 人民教育出版社数学室译：美国学校数学课程与评价标准. 人民教育出版社，1994年.

⑸ 蔡金法等译：美国学校数学教育的原则和标准. 人民教育出版社，2004年.40

⑹ 同⑴.

⑺ 同⑴.

⑻ 原国家教委：全日制小学数学教学大纲. 人民教育出版社，1986年.

⑼ 原国家教委：九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）.人民教育出版社，1992年.

⑽ 国家教育部：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001年.

⑾ 国家教育部：义务教育数学课程标准（2011年版）.北京师范大学出版社，2012年.

⑿ 朱智贤主编：儿童心理学史论丛.北京师范大学出版社，1982年.

⒀ R．W．Copelan著，李其维等译：儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义．上海教育出版社，1985年.

⒁ 曹培英：怎样培养、发展小学生的空间观念.《小学数学教育》2010年第5期.

⒂ 同⒁.

以下两图供参考、选用